Facteur direct d'un module

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Soit M un A-module. Deux sous-modules N et P sont supplémentaires lorsque M est somme directe de N et P. Ceci équivaut évidemment à :

${\displaystyle \quad M=N+P}$ et ${\displaystyle \quad N\cap P=\{0\}}$

Un sous-module N d'un A-module M est facteur direct s'il possède un supplémentaire.

• Si N est un facteur direct de M, alors tous ses supplémentaires sont isomorphes au quotient M/N.

• Soit N un sous-module de M. Si M/N est libre, alors N est facteur direct.

• Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit qu'il existe un endomorphisme p de M (appelé projecteur) vérifiant les deux conditions suivantes :
  • ${\displaystyle \quad p(M)=N}$
  • ${\displaystyle \quad p^{2}=p}$

• Soient F et S deux sous-modules d'un A-module M. Si S est simple, alors ${\displaystyle \quad S\subset F}$ ou ${\displaystyle S\cap F=\{0\}}$.

• Pour qu'un A-module soit semi-simple, il faut et il suffit que tous ses sous-modules soient facteurs directs. C'est toujours le cas si A est un corps.

• Sous-espace supplémentaire

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