Graphe sans triangle

En théorie des graphes, un graphe sans triangle est un graphe qui ne possède pas de triplet d'arêtes formant un triangle.

Le théorème de Mantel, cas particulier du théorème de Turán, est :

Le nombre maximal d'arêtes dans un graphe sans triangle est ${\displaystyle \lfloor n^{2}/4\rfloor .}$

La famille des graphes sans triangle, contient notamment les graphes acycliques et est contenue dans les graphes sans diamant.

Les graphes sans triangle peuvent être reconnus en temps ${\displaystyle O(m^{1,41})}$, où ${\displaystyle m}$ est le nombre d'arêtes^[1].

De façon plus générale, on peut reconnaître les graphes n'ayant pas de cycles d'une certaine longueur (fixé dans l'algorithme), en temps ${\displaystyle O(nm)}$ (avec ${\displaystyle n}$ le nombre de sommets)^[2] ou en temps ${\displaystyle O(n^{\omega }\log(n))}$^[3].

Le problème est aussi étudié dans le domaine du test de propriété^[4].

Le théorème de Grötzsch établit que tout graphe planaire sans triangle possède une 3-coloration, selon les définitions de la coloration de graphe.

Le plus petit graphe sans triangle de nombre chromatique supérieur ou égal à 4 est le graphe de Grötzsch (illustration).

• (en) Noga Alon, R. Yuster et U. Zwick, « Finding and counting given length cycles », dans Proceedings of the 2nd European Symposium on Algorithms, Utrecht, The Netherlands, 1994, p. 354-364.
• (en) N. Alon, R. Yuster et U. Zwick, « Finding and counting given length cycles », Algorithmica,‎ 1997, p. 354-364 (lire en ligne).
• (de) Herbert Grötzsch, « Zur Theorie der diskreten Gebilde, VII: Ein Dreifarbensatz für dreikreisfreie Netze auf der Kugel », Wiss. Z. Martin-Luther-U., Halle-Wittenberg, Math.-Nat. Reihe, vol. 8,‎ 1959, p. 109 - 120.

• Les graphes sans triangle sur Information System on Graph Classes and their Inclusions.

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