Matrice d'une application linéaire

En algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux.

Soient :

• E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif^[1] K, de dimensions respectives n et m ;
• B = (e₁, … , e_n) une base de E, C une base de F ;
• φ une application de E dans F.

Alors^[2] :

• l'application φ est linéaire si et seulement s'il existe une matrice A de M_m,n(K) telle que
  pour tout vecteur x de E, la colonne des coordonnées dans C de φ(x) soit le produit à gauche par A de la colonne de coordonnées de x dans B ;
• une telle matrice A est alors unique : ses n colonnes sont les coordonnées dans C des n vecteurs φ(e₁), … , φ(e_n).

Cette matrice A est appelée la matrice de φ dans le couple de bases (B, C) et notée mat_{B, C}(φ), ou parfois M_C^B(φ).

Plus formellement, mat_{B, C}(φ) est caractérisée par :

${\displaystyle \forall x\in E\quad \operatorname {mat} _{C}(\varphi (x))=\operatorname {mat} _{B,C}(\varphi )\times \operatorname {mat} _{B}(x)}$.

Dans le plan vectoriel euclidien ℝ², la similitude directe de rapport √2 et d'angle 45° (voir illustration)^[3] est linéaire.

Sa matrice dans la base canonique (ou dans toute base orthonormée directe) est ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}}$.

Soit : ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

• La matrice mat_{B, C}(φ) fournit, colonne par colonne, les coordonnées dans C des n vecteurs φ(e₁), … , φ(e_n) de F, qui engendrent l'image de φ. Quant au noyau de φ, c'est le sous-espace vectoriel de E constitué des vecteurs dont les coordonnées dans B sont les solutions X du système linéaire homogène mat_{B, C}(φ) X = 0.
• L'application de L(E, F) dans M_m,n(K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
• Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Plus précisément^[2] :${\displaystyle \operatorname {mat} _{B,D}(\psi \circ \varphi )=\operatorname {mat} _{C,D}(\psi )\times \operatorname {mat} _{B,C}(\varphi )}$.
• Pour toute matrice M de M_m,n(K), l'application X ↦ MX, du K-espace vectoriel M_{n, 1}(K) dans le K-espace vectoriel M_{m, 1}(K), est linéaire^[4] et sa matrice dans les bases canoniques est M. En conséquence, il arrive souvent que l'on identifie la matrice M avec cette application linéaire. On parlera alors de noyau de la matrice, d'espaces propres de la matrice, d'image de la matrice, etc.

Matrice de passage

v · m Matrices
Forme	Carrée À bande Triangulaire Diagonale Tridiagonale Élémentaire Échelonnée Creuse Aléatoire Circulante Hankel Toeplitz Vandermonde Hessenberg
Transformée	Transposée Conjuguée Adjointe Inverse Comatrice
Relation	équivalentes semblables congruentes
Propriété	Inversible Diagonalisable Semi-simple Trigonalisable Symétrique Antisymétrique Hermitienne Normale Orthogonale Unitaire Symplectique de Hadamard Autoadjointe positive Définie positive Diagonale dominante Nilpotente
Famille	Nulle Identité Vide De Casteljau Cartan Hilbert Mueller Lehmer Pauli Dirac Householder
Associée	Permutation Passage Compagnon Sylvester Adjacence Laplacienne Hessienne Jacobienne Génératrice Contrôle Corrélation Gram Variance-covariance Inertie Jones Gains Stochastique
Résultats	Décompositions LU QR Cholesky Schur Polaire Valeurs singulières Diagonalisation Trigonalisation Réduction de Jordan Facteurs invariants
Articles liés	CKM Théorie des matrices Algèbre linéaire Algèbre multilinéaire Addition matricielle Palette incluant la multiplication des matrices

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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