Nombre multicomplexe (Segre)

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En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension 2ⁿ sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.

Les algèbres multicomplexes ℂ_n se construisent par récurrence, en posant ℂ₀ = ℝ comme initialisation. En supposant l’algèbre ℂ_{n−1|n ≥ 1} déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire i_n ∉ ℂ_n−1 vérifiant i²
_n = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginaires i₁, …, i_n−1 : on définit alors ℂ_n = {x + y i_n | (x,y) ∈ ℂ_n−1²}.

Pour n ≥ 1, 1 et i_n commutent avec tout nombre de ℂ_n−1, et Vect(1,i_n) ∉ ℂ_n−1 (car i_n ∉ ℂ_n−1). La relation ℂ_n = {x + y i_n | (x,y) ∈ ℂ_n−1²} peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres ℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ Vect(1,i_n). En outre, puisque i²
_n = −1, on a Vect(1,i_n) ≅ ℂ, d’où ℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ ℂ. ℝ étant l’élément neutre de ⊗_ℝ, et donc son produit vide, on a donc :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ facteurs}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \ .}$

• Le nombre de composantes doublant à chaque rang n et ℂ₀ = ℝ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂ_n est de dimension 2ⁿ sur ℝ.
• Chaque ℂ_n est une algèbre de Banach.
• Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂ_n possède des diviseurs de zéro :
  • pour a ≠ b, on a i_a−i_b ≠ 0, i_a+i_b ≠ 0 et (i_a−i_b)(i_a+i_b) = i²
    _a−i²
    _b = 0 ;
  • pour a ≠ b, on a i_ai_b−1 ≠ 0, i_ai_b+1 ≠ 0 et (i_ai_b−1)(i_ai_b+1) = i²
    _ai²
    _b−1 = 0.

• ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_2ⁿ.

• Pour n ≥ 1, ℂ₀, …, ℂ_n−1 sont des sous-algèbres de ℂ_n.
• Pour k ≤ n, ℂ_n est de dimension 2^n−k sur ℂ_k.
• Pour n ≥ 1, chaque unité i_k vérifie i²
  _k = −1, donc ℂ_n contient n copies du plan complexe.
• Pour n ≥ 2 et a ≠ b, chaque nombre j_a,b = i_ai_b = i_bi_a vérifie j_a,b² = 1, donc ℂ_n contient n(n−1)/2 copies du plan des complexes déployés.

Les cas n ≤ 3 ont des noms consacrés :

• ℂ₀ : nombre réel (ℝ) ;
• ℂ₁ : nombre complexe (ℂ) ;
• ℂ₂ : nombre bicomplexe ;
• ℂ₃ : nombre tricomplexe.

• (it) Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
• (en) Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Entier surnaturel Entier profini Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅ Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} \!\!\!\!\diagdown }$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {B} \!\!\!\!\diagdown }$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley-Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} \!\!\!\!\diagdown }$ 16D Sédénion 𝕊
Sur ℤ	2D Entier de Gauss ℤ Entier d'Eisenstein ℤ 4D Quaternions de Hurwitz ${\displaystyle \scriptstyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

• Arithmétique et théorie des nombres