Parallélogramme
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Un parallélogramme ABCD.
En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leur milieu.
Définitions équivalentes
En géométrie purement affine, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme (au sens défini en introduction) si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :
- les vecteurs A B → {\displaystyle {\rm {\overrightarrow {AB}}}} et D C → {\displaystyle {\rm {\overrightarrow {DC}}}} sont égaux ;
- les vecteurs A D → {\displaystyle {\rm {\overrightarrow {AD}}}} et B C → {\displaystyle {\rm {\overrightarrow {BC}}}} sont égaux.
et
D
C
→
{\displaystyle {\rm {\overrightarrow {DC}}}}
sont égaux ;
et
B
C
→
{\displaystyle {\rm {\overrightarrow {BC}}}}
sont égaux.Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC).
En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :
- le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
- il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
- ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
- c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.
Propriétés
- Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
- Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : A C 2 + B D 2 = 2 ( A B 2 + B C 2 ) {\displaystyle {\rm {{AC}^{2}+{BD}^{2}=2\left({AB}^{2}+{BC}^{2}\right)}}} .
- Les angles d'un parallélogramme qui se suivent sont supplémentaires
- Les angles opposés sont égaux
.Cas particuliers
- Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il est même équilatéral.
- Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
- Un carré est un losange rectangle.
Aire
L'aire d'un parallélogramme est égale à celle du rectangle de mêmes base et hauteur.Soient b {\displaystyle b} la longueur d'un côté du parallélogramme et h {\displaystyle h} la longueur de la hauteur associée. L'aire A {\displaystyle A} du parallélogramme vaut :
A = b × h . {\displaystyle A=b\times h.}
la longueur d'un côté du parallélogramme et
h
{\displaystyle h}
la longueur de la hauteur associée. L'aire
A
{\displaystyle A}
du parallélogramme vaut :
L'aire d'un parallélogramme est aussi donnée par un déterminant.
Antiparallélogramme
Article détaillé : Antiparallélogramme.
Un antiparallélogramme.
Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.
Équipollence et vecteurs
Articles détaillés : Équipollence (mathématiques) et Vecteur.
(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).
Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :
- on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
- deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme (la relation d'équipollence est une relation d'équivalence) ;
- on appelle vecteur A B → {\displaystyle {\rm {\overrightarrow {AB}}}} la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).
On retrouve alors qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si A B → = D C → {\displaystyle {\rm {{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}}} .
.
Voir aussi
Notes et références
- M. Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, 2002, p. 13.
- Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, 1964, exercice 1, p. 50.
