Représentation d'un groupe topologique

Fixons (g₀,v₀)∊G×V et ε > 0. Il existe un voisinage compact K de g₀ tel que

${\displaystyle \forall g\in K,~\|\pi (g).v_{0}-\pi (g_{0}).v_{0}\|\leq \varepsilon .}$

Pour tout v∊V, l'ensemble des π(g).v quand g parcourt K est compact donc borné. Par le théorème de Banach-Steinhaus, il existe donc un réel M tel que

${\displaystyle \forall g\in K,\quad \|\pi (g)\|\leq M.}$

On en déduit :

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall g\in K,~\forall v\in B\left(v_{0},{\frac {\varepsilon }{M}}\right),\quad \|\pi (g).v-\pi (g_{0}).v_{0}\|&\leq \|\pi (g).v-\pi (g).v_{0}\|+\|\pi (g).v_{0}-\pi (g_{0}).v_{0}\|\\&\leq \|\pi (g)\|{\frac {\varepsilon }{M}}+\varepsilon \\&\leq 2\varepsilon .\end{aligned}}}$