(G, X) structure



L'internet est une source inépuisable de connaissances, y compris lorsqu'il s'agit de (G, X) structure. Des siècles et des siècles de connaissances humaines sur (G, X) structure ont été versés, et sont encore versés, dans le réseau, et c'est précisément la raison pour laquelle il est si difficile d'y accéder, car nous pouvons trouver des endroits où la navigation peut être difficile, voire impraticable. Notre proposition est que vous ne fassiez pas naufrage dans une mer de données concernant (G, X) structure et que vous puissiez atteindre tous les ports de la sagesse rapidement et efficacement.

Avec cet objectif en tête, nous avons fait quelque chose qui va au-delà de l'évident, en collectant les informations les plus récentes et les mieux expliquées sur (G, X) structure. Nous l'avons également organisé de manière à le rendre facile à lire, avec un design minimaliste et agréable, garantissant la meilleure expérience utilisateur et le temps de chargement le plus court. Nous vous facilitons la tâche pour que vous n'ayez plus qu'à vous soucier de tout savoir sur (G, X) structure ! Donc, si vous pensez que nous avons atteint notre objectif et que vous savez déjà tout ce que vous vouliez savoir sur (G, X) structure, nous serions ravis de vous revoir sur les mers calmes de sapientiafr.com dès que votre soif de connaissances se réveillera.

En mathématiques , les structures (G, X) (également des structures localement homogènes ou des structures géométriques ) offrent la possibilité de fournir des variétés topologiques avec des structures géométriques au sens du programme Erlangen de Felix Klein . Cette approche est utilisée dans la géométrisation des 3-variétés et dans la théorie de la représentation des groupes .

(G, X) structures

Soit un groupe de Lie et un G-espace transitif .

Un -manifold est un manifold avec un -atlas , c'est -à- dire un couvercle par ensembles ouverts

avec les homéomorphismes

sur des sous-ensembles ouverts de tels que toutes les transitions de coordonnées

Les contraintes des éléments sont.

Cartographie du développement et holonomie

Illustration de développement

Fixez un point de base et une carte avec . Être

la superposition universelle . Ces données créent une carte (la soi-disant carte de développement )

qui, pour chaque chemin, coïncide avec la suite analytique le long du chemin.

Pour les données de sortie sélectionnées différemment et le mappage de développement ne change que par l'application d'un élément .

exhaustivité

La carte de développement est un homéomorphisme local. Un -manifold est appelé complet si sa carte de développement est surjective . Si est simplement connecté , alors chaque -manifold complet est de la forme d'un sous-groupe discret .

Il CETTE CONDITION par difféomorphismes analytiques avec compacts stabilisateurs sur . Ensuite, il y a une métrique riemannienne -invariante sur chaque -manifold et les conditions suivantes sont équivalentes:

  • est un espace métrique complet .
  • Il y en a une telle que toutes les sphères fermées sont compactes.
  • Toutes les sphères terminées sont compactes.
  • Il existe une famille d'ensembles compacts avec pour que tout l' environnement de in soit inclus.

En particulier, les collecteurs fermés sont toujours complets dans ce cas .

Holonomie

Pour

donne une continuation analytique le long d'un chemin fermé représentatif à une carte comparable , car les deux sont définis sur un sous-ensemble de . Être

,

pour que

.

L'illustration

est un homomorphisme de groupe et s'appelle l' holonomie de la structure.

Selon la construction, la carte de développement est équivariante par rapport à l'homomorphisme de l'holonomie, i.e. H. ça s'applique

.

Pour les données initiales choisies différemment et l'holonomie change uniquement en conjugaison avec un élément . Alors tu as une photo

.

Interprétation du bundle (théorème d'Ehresmann-Thurston-Weil)

Une structure avec (G, X) -Atlas et des transitions de coordonnées peut être un faisceau de fibres

attribuer dont les images de transition ne sont que le . Dans cette interprétation, l'image de développement correspond à une coupe . Le bundle est donc un bundle plat avec monodromie .

A l'inverse, une section correspond à une structure si elle est transversale aux vantaux définis par .

Parce que la transversalité est une condition ouverte, il s'ensuit qu'il existe un homéomorphisme local.

Exemples

Géométries du modèle

Une géométrie de modèle est une variété différentiable avec un effet plus différencié d'un groupe de Lie qui satisfait aux conditions suivantes:

  • est connecté et simplement connecté
  • agit de manière transitoire avec des stabilisateurs compacts (en particulier il existe une métrique riemannienne -invariante)
  • est maximal parmi les groupes qui agissent par difféomorphismes avec des stabilisateurs compacts
  • il y a au moins un collecteur compact .

De la dernière condition il découle en particulier qu'elle doit être unimodulaire . Il existe de nombreuses paires qui satisfont toutes sauf la dernière, par exemple le groupe de Lie des cartes affines du plan euclidien.

Géométries de modèles en 2 dimensions

Les géométries des modèles à 2 dimensions ont été classées par Cartan, ce sont la sphère à 2 dimensions, le plan euclidien et le plan hyperbolique, chacun avec leurs groupes isométriques complets .

Géométries de modèles en 3 dimensions

Les géométries des modèles tridimensionnels ont été classées par Thurston. Il existe huit géométries de modèle en 3 dimensions, où le groupe isométrique de la métrique homogène est:

  • l' espace euclidien ,
  • la sphère tridimensionnelle (surface d'une sphère quadridimensionnelle),
  • l' espace hyperbolique ,
  • le produit de 2 sphères et de ligne droite ,
  • le produit du plan hyperbolique et de la droite ,
  • , La superposition universelle de la groupe spécial linéaire
  • le groupe Heisenberg
  • le groupe de Lie résoluble en 3 dimensions .

Géométries de modèles en 4 dimensions

Les géométries des modèles à 4 dimensions ont été classées par Filipkiewicz.

Variétés affines

Les variétés affines sont des variétés pour et le groupe de cartes affines. La conjecture d'Auslandser (prouvée par Fried et Goldman pour n = 3) dit que le groupe fondamental des variétés affines compactes est polycyclique .

Variateurs conformes

Une structure conforme est une structure avec et .

Variétés projectives

Les variétés projectives sont des variétés pour . Dans ce cas, les structures correspondent aux relations projectives plates .

Les variétés projectives complexes sont des variétés pour .

Structure du drapeau

Une structure d' indicateur est une structure avec et la variété d'indicateur , c.-à-d. H. l'espace des drapeaux complets dans , avec l'effet canonique et stabilisateur du sous-ensemble des matrices triangulaires supérieures .

Hiérarchies des géométries

Si un homomorphisme et un - équivariantes difféomorphisme local , chacun est -manifold automatiquement un -manifold.

Par exemple, le modèle Beltrami-Klein de géométrie hyperbolique montre que chaque variété hyperbolique est automatiquement aussi une variété projective . Les autres géométries de Thurston tridimensionnelles , à l'exception de et, peuvent également être interprétées comme un sous-ensemble de la géométrie projective.

Littérature

  • William P. Thurston : Géométrie et topologie tridimensionnelles. Vol 1. Edité par Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. ISBN 0-691-08304-5
  • G. Peter Scott : Les géométries des 3-variétés. Bull, Londres Math. Soc. 15 (1983) n ° 5, 401-487. en ligne
  • Richard Canary ; David Epstein ; PL Green: Notes sur les notes de Thurston . Avec une nouvelle préface de Canary. Londres Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Fondamentaux de la géométrie hyperbolique: expositions sélectionnées, 1115, Cambridge Univ. Presse, Cambridge, 2006
  • William P. Thurston: La géométrie et la topologie des trois collecteurs en ligne
  • Yoshinobu Kamishima; Ser Peow Tan: Espaces de déformation sur des structures géométriques. Aspects of low-dimension manifolds, 263-299, Adv. Stud. Pure Math., 20, Kinokuniya, Tokyo, 1992
  • William M. Goldman : Variétés géométriques localement homogènes. Actes du Congrès international des mathématiciens. Volume II, 717-744, Agence du livre Hindustan, New Delhi, 2010. pdf

liens web

preuve

  1. ^ RP Filipkiewicz: Géométries à quatre dimensions , Ph.D. Thèse, Univ. Warwick, Coventry, 1984; par bibl.
  2. CTC Wall : Geometries and geometries in real dimension 4 and complex dimension 2. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 268-292, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985

Opiniones de nuestros usuarios

Maryse Lopez

Dans cet article sur (G, X) structure, j'ai appris des choses que je ne savais pas, donc je peux aller me coucher maintenant.

Alain Etienne

L'article sur (G, X) structure est complet et bien expliqué. Je ne supprimerais ni n'ajouterais de virgule.

Gabriel David

Pour ceux qui, comme moi, recherchent des informations sur (G, X) structure, c'est une très bonne option.