(LF) salle



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Les espaces (LF) sont une classe d'espaces vectoriels considérés en mathématiques . Si l'on soustrait la construction de certains espaces à la théorie de la distribution , on est conduit au concept d'espace (LF) sans contrainte. C'est l'union d'une suite ascendante d' espaces de Fréchet , que l'on appelle aussi L imes inductives des espaces F Rechet désignés où le nom (LF) espace a agité.

définition

Un espace (LF) est un espace localement convexe pour lequel il existe une séquence d'espaces de Fréchet telle que ce qui suit s'applique:

  1. pour tous
  2. Pour chacun contribue par topologie de sous-espace donnée .
  3. est l'union de tous .
  4. porte la meilleure topologie localement convexe qui rend toutes les inclusions continues.

Dans cette situation on appelle une séquence performante d'espaces de Fréchet pour . Si l'on peut même trouver une séquence descriptive à partir des espaces de Banach , l'espace est appelé un espace (LB).

Certains auteurs affaiblissent également la deuxième condition et exigent uniquement que l'inclusion de à soit continue. Pour ces espaces plus généraux (LF), toutes les propriétés indiquées ci-dessous ne sont pas automatiquement remplies, en particulier il y a alors des espaces (LF) qui ne sont pas complets.

Exemples

Chaque espace de Fréchet est un espace (LF); la séquence constante peut être choisie comme séquence représentative .

Soit l' espace des séquences de toutes les séquences finies. Si l'on s'identifie à l'espace de toutes les séquences qui n'ont que des zéros à partir de la -ème position, alors il y a une séquence descriptive pour l'espace (LF) , qui est même un espace (LB). La topologie sur est la meilleure topologie localement convexe, c'est-à-dire H. la topologie définie par toutes les semi-normes .

La construction suivante provient de la théorie de la distribution . Est compact , tout comme l'espace de toutes les fonctions infiniment différentiables avec prise en charge dans . Est ouvert , que l' on appelle l' espace l' espace des fonctions de test sur . porter la topologie localement convexe la plus fine qui rend toutes les inclusions continues. Ensuite, il y a un espace (LF). En tant que séquence descriptive des espaces Fréchet on peut prendre toute séquence , où une séquence de sous - ensembles compacts est, de sorte que chacune se situe dans l' intérieur de et est l'union de ceux - ci . La topologie sur est indépendante du choix de cette séquence d'ensembles compacts.

caractéristiques

Quantités limitées

Pour les ensembles limités dans un espace (LF) avec une séquence descriptive , le théorème suivant s'applique:

  • Un lot est borné si et quand il en est ainsi et en est limité.

continuité

La continuité des opérateurs linéaires d'un espace (LF) avec une séquence descriptive dans un autre espace localement convexe peut être caractérisée comme suit:

  • Un opérateur linéaire est continu si et seulement si toutes les restrictions sont continues.

exhaustivité

Selon une phrase remontant à Gottfried Köthe , tous les espaces (LF) sont complets .

Relations avec d'autres espaces

(LF) Les chambres sont tonneaux , ultrabornologiques et ont un tissu . Avec cela, les trois théorèmes classiques connus de la théorie des espaces de Banach se généralisent aux espaces (LF):

Théorème de Banach-Steinhaus : Siune famille d'opérateurs linéaires continusentre des espaces vectoriels localement convexes, où(LF) -space est, et estbornépour chacun, alors estéquidistant, i.e. H. pour chaque quartier zéro,il y a un quartier zéro, doncpour tous.

Théorème sur le mappage ouvert : Un mappage linéaire, continu et surjectifentre les espaces (LF) est ouvert.

Théorème du graphe fermé : Une application linéaireentre des espaces (LF) avec un graphe fermé est continue.

application

Dans la théorie de la distribution , une distribution sur un ensemble ouvert est définie comme une application linéaire , de sorte que la condition de continuité suivante s'applique: Est compacte et est une séquence dans , de sorte que chaque porteur a dedans et donc qui est uniforme dans toutes les dérivées, il en est de même .

Avec cette définition, il n'est pas clair au départ si la condition de continuité est du tout une continuité par rapport à une topologie. En effet, il suffit de considérer la continuité séquentielle, car l' espace (LF) est bornologique . Alors la condition donnée ne signifie rien d'autre que toutes les restrictions de on , compactes, sont continues. Après la propriété mentionnée ci-dessus de la continuité des opérateurs linéaires sur les espaces (LF), la continuité par rapport à la topologie de l'espace (LF) suit en fait .

Avec les concepts présentés ici, on peut définir une distribution comme une fonctionnelle linéaire continue sur l'espace (LF) .

se gonfler

  • K. Floret, J.Wloka: Introduction à la théorie des espaces convexes localement , Notes de cours en mathématiques 56, 1968
  • F. Treves: Espaces vectoriels topologiques, distributions et noyaux , Douvres 2006, ISBN 0-486-45352-9

Opiniones de nuestros usuarios

Bertrand Jacquet

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