Fonction loggamma

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En analyse, la fonction loggamma est une fonction réelle, définie comme le logarithme naturel de la fonction Gamma pour tout réel strictement positif.

La fonction loggamma est définie sur la demi-droite réelle positive par

${\displaystyle {\begin{matrix}\ln \circ \,\Gamma :&\mathbb {R} _{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\ln(\Gamma (x))\end{matrix}}}$

En utilisant l'identité de Schlömlich, on a également :

${\displaystyle \forall x>0,\ln \circ \,\Gamma (x)=-\gamma x-\ln x+\sum _{k=1}^{+\infty }\left.}$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle donc la solution de l'équation fonctionnelle :

${\displaystyle f(z)=f(z+1)-\ln z.}$

Une notation utilisée dans la littérature est ${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }$.

De la formule asymptotique de Stirling appliquée à la fonction Gamma, on tire :

${\displaystyle \ln \circ \,\Gamma (x)=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\ln x-x+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+\mu (x)}$

avec μ la fonction de Binet vérifiant ${\displaystyle \mu (x)=o_{x\rightarrow +\infty }(x)}$ On peut exprimer l'équivalent sous forme de reste intégral.

Ce reste intégral peut s'exprimer par deux formules, dite première formule de Binet^[1],[2] :

${\displaystyle \mu (x)=\int _{0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\right){\frac {\mathrm {e} ^{-xt}}{t}}\mathrm {d} t}$

et deuxième formule de Binet^[1],[2]:

${\displaystyle \mu (x)=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\arctan({\frac {t}{x}})}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

Il existe également plusieurs représentations en série de la fonction de Binet, comme celui montré par Gudermann^[3]:

${\displaystyle \mu (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left}$

ou plus classiquement^[4]:

${\displaystyle \mu (x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {c_{n}}{\prod _{k=1}^{n}(x+k)}},\ {\textrm {avec}}c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}(u-{\frac {1}{2}})\prod _{k=0}^{n-1}(u+k)\mathrm {d} u.}$

La fonction log-gamma est convexe.

On a, pour tout entier strictement positif n :

${\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(n)=\ln((n-1)!)={\frac {n(n-1)}{2}}.}$

${\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )\left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \pi +\ln-{\frac {n-1}{2}}\ln 2.}$

On a^[5],[6]:

${\displaystyle \forall x\in ]-1;1],\ (\ln \circ \,\Gamma )(x+1)=-\gamma x+\sum _{n=2}^{+\infty }(-1)^{n}\zeta (n)x^{n}.}$

La dérivée de la fonction log-gamma est la fonction digamma^[7]:

${\displaystyle \forall x>0,\ (\ln \circ \,\Gamma )'(x)=\psi (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$

Raabe a démontré l'égalité^[8],[9] :

${\displaystyle \forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \left({\frac {\Gamma (x+t)}{\sqrt {2\pi }}}\right)\mathrm {d} t=x\ln x-x.}$

dont on déduit :

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\mathrm {d} t=\ln({\sqrt {2\pi }}).}$

Elle peut se déduire de la formule de Lerch sur la dérivée de la fonction zêta de Hurwitz^[7]:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta (s,q)\right|_{s=0}=\ln \left({\frac {\Gamma (q)}{\sqrt {2\pi }}}\right).}$

La fonction loggamma admet comme représentations intégrales :

${\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(x)=-\int _{0}^{+\infty }\left(x-1-{\frac {1-\mathrm {e} ^{-(x-1)t}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}\right){\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{t}}\mathrm {d} t+\ln \left({\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\right)}$ (formule de Malmsten)

${\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(x)=\int _{0}^{+\infty }\left((x-1)\mathrm {e} ^{-t}-{\frac {(1+t)^{-x}-(1+t)^{-1}}{\ln(1+t)}}\right){\frac {1}{t}}\mathrm {d} t}$ (formule de Féaux)

${\displaystyle (\ln \circ \,\Gamma )(x)=-\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{t}}\left({\frac {\mathrm {e} ^{tx}-1}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}-x\right)\mathrm {d} t+\ln \left({\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\right)}$

On a également^[10],[11]:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\sin(2\pi nt)\mathrm {d} t={\frac {\ln(2\pi )+\gamma +\ln n}{2\pi n}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\sin((2n+1)\pi t)\mathrm {d} t={\frac {\ln(2\pi )}{(2n+1)\pi }}.}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\cos(2\pi nt)\mathrm {d} t={\frac {1}{4n}},\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\cos((2n+1)\pi t)\mathrm {d} t={\frac {2}{\pi ^{2}}}\left({\frac {\ln(2\pi )+\gamma }{(2n+1)^{2}}}+2\sum _{k=2}^{+\infty }{\frac {\ln k}{4k^{2}-(2n+1)^{2}}}\right).}$

${\displaystyle \forall x>0,\ \int _{0}^{1}\ln \Gamma (t)\zeta (x,t)\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (1-x)}{(2\pi )^{2-x}}}\zeta (2-x)\left.}$

Du fait de la croissance surexponentielle de la fonction gamma, la fonction loggamma peut être utilisée pour le calcul de la fonction gamma pour de grandes valeurs.

• (en) Russell Leidich, « Error Bounds on the Loggamma Function Amenable to Interval Arithmetic », viXra,‎ 2016 (lire en ligne)

• Fonction digamma

• (en) Eric W. Weisstein, « Log Gamma Function », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Binet's Log Gamma Formulas », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Malmstén's Formula », sur MathWorld

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