Plus petit commun multiple

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Diagramme de Venn montrant les plus petits communs multiples de 2, 3, 4, 5 et 7.

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s'appeler aussi PPMC, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b ou PPCM(a, b), ou parfois simplement .

On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux intègres factoriels ou même seulement à PGCD.

Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de n entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces n entiers.

Définition

Soient a et b deux entiers relatifs :

si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;
si a et b sont non nuls, considérons l'ensemble des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de a et de b. Cet ensemble d'entiers naturels est non vide, car il contient |ab|. Il possède donc un plus petit élément, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de a et b :

PPCM ⁡ ( a , b ) = min ( { m ∈ N ∗ ∣ a | m e t b | m } ) {\displaystyle \operatorname {PPCM} (a,b)=\min \left(\left\{m\in \mathbb {N} ^{*}\mid a|m~{\rm {et}}~b|m\right\}\right)}

\operatorname {PPCM} (a,b)=\min \left(\left\{m\in \mathbb {N} ^{*}\mid a|m~{\rm {et}}~b|m\right\}\right)

Calcul

À l'aide de la décomposition en facteurs premiers

La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci.

On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.

Exemple

Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :

60 = 2×2×3×5 = 22×3×5 ;
168 = 2×2×2×3×7 = 23×3×7.

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi PPCM(60, 168) = 23×3×5×7 = 840.

À l'aide du PGCD

Dès que l'un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur (PGCD) :

PPCM ⁡ ( a , b ) = | a b | PGCD ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {PPCM} (a,b)={\dfrac {|ab|}{\operatorname {PGCD} (a,b)}}}

\operatorname {PPCM} (a,b)={\dfrac {|ab|}{\operatorname {PGCD} (a,b)}}

On en déduit aussi que l'existence d'un PGCD se déduit, ainsi que la formule, de celle d'un PPCM au sens fort, c'est-à-dire — cf. première propriété ci-dessous — d'un multiple commun qui divise tous les autres :

Démonstration Définissons les entiers m et d par : m = PPCM(a, b) et d = |ab|/m. Alors, pour tout entier n, n ∣ a , b ⟺ n b , n a ∣ a b ⟺ b , a ∣ a b / n ⟺ m ∣ m d / n ⟺ n ∣ d {\displaystyle n\mid a,b\iff nb,na\mid ab\iff b,a\mid ab/n\iff m\mid md/n\iff n\mid d}

n\mid a,b\iff nb,na\mid ab\iff b,a\mid ab/n\iff m\mid md/n\iff n\mid d

donc PGCD(a, b) = d.

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM.

Exemple Avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD(60, 168) :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0. Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.

Propriétés

Soient a, b, c trois entiers naturels.

Les multiples communs à a et b sont les multiples de PPCM(a, b)
En particulier, PPCM ⁡ ( a , b ) = a ⟺ b ∣ a {\displaystyle \operatorname {PPCM} (a,b)=a\iff b\mid a} $\operatorname {PPCM} (a,b)=a\iff b\mid a$
PPCM ⁡ ( a , b , c ) = PPCM ⁡ ( PPCM ⁡ ( a , b ) , c ) = PPCM ⁡ ( a , PPCM ⁡ ( b , c ) ) {\displaystyle \operatorname {PPCM} (a,b,c)=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PPCM} (a,b),c)=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))} $\operatorname {PPCM} (a,b,c)=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PPCM} (a,b),c)=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))$ (on peut étendre à un nombre arbitraire d'éléments)
PPCM ⁡ ( a c , b c ) = c PPCM ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {PPCM} (ac,bc)=c\operatorname {PPCM} (a,b)} $\operatorname {PPCM} (ac,bc)=c\operatorname {PPCM} (a,b)$
PGCD ⁡ ( a , PPCM ⁡ ( a , b ) ) = PPCM ⁡ ( a , PGCD ⁡ ( a , b ) ) = a {\displaystyle \operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (a,b))=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (a,b))=a} $\operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (a,b))=\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (a,b))=a$
PGCD ⁡ ( a , PPCM ⁡ ( b , c ) ) = PPCM ⁡ ( PGCD ⁡ ( a , b ) , PGCD ⁡ ( a , c ) ) {\displaystyle \operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (a,c))} $\operatorname {PGCD} (a,\operatorname {PPCM} (b,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (a,c))$
PPCM ⁡ ( a , PGCD ⁡ ( b , c ) ) = PGCD ⁡ ( PPCM ⁡ ( a , b ) , PPCM ⁡ ( a , c ) ) {\displaystyle \operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (b,c))=\operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (a,c))} $\operatorname {PPCM} (a,\operatorname {PGCD} (b,c))=\operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (a,c))$
PGCD ⁡ ( PPCM ⁡ ( a , b ) , PPCM ⁡ ( b , c ) , PPCM ⁡ ( a , c ) ) = PPCM ⁡ ( PGCD ⁡ ( a , b ) , PGCD ⁡ ( b , c ) , PGCD ⁡ ( a , c ) ) {\displaystyle \operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (b,c),\operatorname {PPCM} (a,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (b,c),\operatorname {PGCD} (a,c))} $\operatorname {PGCD} (\operatorname {PPCM} (a,b),\operatorname {PPCM} (b,c),\operatorname {PPCM} (a,c))=\operatorname {PPCM} (\operatorname {PGCD} (a,b),\operatorname {PGCD} (b,c),\operatorname {PGCD} (a,c))$ .

Les trois propriétés suivantes constituent une caractérisation fonctionnelle du PPCM :

PPCM ⁡ ( a , b ) = PPCM ⁡ ( b , a ) {\displaystyle \operatorname {PPCM} (a,b)=\operatorname {PPCM} (b,a)} $\operatorname {PPCM} (a,b)=\operatorname {PPCM} (b,a)$
PPCM ⁡ ( a , a ) = a {\displaystyle \operatorname {PPCM} (a,a)=a} $\operatorname {PPCM} (a,a)=a$
( b − a ) PPCM ⁡ ( a , b ) = b PPCM ⁡ ( a , b − a ) {\displaystyle (b-a)\operatorname {PPCM} (a,b)=b\operatorname {PPCM} (a,b-a)} $(b-a)\operatorname {PPCM} (a,b)=b\operatorname {PPCM} (a,b-a)$ pour b ⩾ a {\displaystyle b\geqslant a} $b\geqslant a$

Notes et références

Cette notation, utilisée plus généralement pour la borne supérieure dans les treillis ici celui de la divisibilité, sert également pour la disjonction logique.
La notation correspondante pour le PGCD est (a, b).
Pour une démonstration, voir par exemple « PPCM » sur Wikiversité (voir infra).
(en) P. M. Cohn, « Bezout rings and their subrings », Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 64,‎ 1968, p. 251-264 (lire en ligne) (p. 253).
Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Analyse, Ellipse, 2016, p. 126

Voir aussi

Lien externe

Outil en ligne calculant le PPCM de deux nombres

Arithmétique et théorie des nombres