Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment^[1] (ou quadrivecteur impulsion^[1] ou quadri-impulsion^[2] ou quadrivecteur impulsion-énergie^[3] ou quadrivecteur énergie-impulsion^[4]) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ et d'énergie ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p^{0}\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma mc\\\gamma mv_{x}\\\gamma mv_{y}\\\gamma mv_{z}\end{pmatrix}}}$.

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées ${\displaystyle \ \left(p^{0};p^{1};p^{2};p^{3}\right)}$, dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées ${\displaystyle \ \left(p_{0};p_{1};p_{2};p_{3}\right)}$ et sont telles que ${\displaystyle \ p_{i}=\eta _{ij}.p^{j}}$.

En relativité restreinte, l'énergie et la quantité de mouvement d'une particule sont les composantes d'un unique quadrivecteur^{[5],[6],[7],[8]} (4-vecteur). Il est surtout connu comme le quadrivecteur énergie-impulsion^{[N 1]} (4-vecteur énergie-impulsion). Il est noté ${\displaystyle p}$^{[N 2]}.

La 4-impulsion d'une particule est un 4-vecteur tangent à la ligne d'univers de la particule^[17] et orienté vers le futur^[17],[18] ; il est de genre temps dans le cas d'une particule massive^{[18],[19],[20]} et de genre lumière dans celui d'une particule sans masse^[18],[20] ; il est non-unitaire^[21]. La 4-impulsion totale d'un système isolé de particules est soit un 4-vecteur de genre temps orienté vers le futur, soit un 4-vecteur de genre lumière orienté vers le futur^[22] ; ce dernier cas ne se produit que pour un système isolé constitué uniquement de particules sans masse et dont les 4-impulsions sont toutes colinéaires^[22]. Les composantes de la 4-impulsion sont homogènes à une quantité de mouvement^[17].

Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la relation d'Einstein^{[23],[24],[25],[26]} :

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$,

reliant l'énergie, la masse et l'impulsion^[26]. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à ${\displaystyle E=mc^{2}}$^[26]. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à ${\displaystyle E=pc}$^[27]. La relation met en évidence qu'en relativité restreinte, la masse est une grandeur invariante^{[28],[29],[30],[31]} et conservée^{[29],[31],[32]} mais non additive^{[29],[31],[32],[33],[34],[35]}.

La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski^{[36],[37],[38]}.

La dénomination « quadrivecteur énergie-quantité de mouvement » reste usitée^[39]. Mais, en raison notamment de sa longueur^[40], des auteurs lui substituent celle de « quadrivecteur énergie-impulsion »^[12],[13] ou de « quadrivecteur impulsion-énergie »^[41]. Cela est discutable car « impulsion » devrait être réservé à « l'action d'une force pendant un court intervalle de temps » et ainsi à « une variation de quantité de mouvement »^[40].

Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ où ${\displaystyle m}$ correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos ${\displaystyle \ m}$ et de la quadrivitesse ${\displaystyle \ u}$.

En coordonnées contravariantes, on a ${\displaystyle \ u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\left(\gamma .c,\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z}\right)}$, où ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

${\displaystyle p^{\mu }=m\,u^{\mu }\!}$ où ${\displaystyle \mu \in {\big \{}0,1,2,3{\big \}}}$

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}}$

Puisque ${\displaystyle |p|^{2}\!}$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

En utilisant la métrique de Minkowski :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-,+,+,+)}$ au lieu de la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(+,-,-,-)}$ adoptée dans cet article^{[N 3]}. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

À l'approximation des faibles vitesses, la composante temporelle de la 4-impulsion se réduit à^[42] :

${\displaystyle p^{0}c=E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle mc^{2}}$ est l'énergie de masse^[43] ;
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv}$ est l'énergie cinétique^[44].

À la même approximation, les trois composantes spatiales de la 4-impulsion se réduisent à^[45] :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$,

qui est l'expression classique de la quantité de mouvement^[46].

La 4-impulsion permet de définir la vitesse observée d'une particule à partir de la relation^[47] :

${\displaystyle {\frac {\vec {p}}{E}}={\frac {\vec {v}}{c^{2}}}}$,

soit :

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {{\vec {p}}c^{2}}{E}}}$.

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné^{[N 4]} implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :

1. La quantité totale d'énergie ${\displaystyle \ E=c.p^{0}}$ est invariante.
2. Le moment linéaire classique tridimensionnel ${\displaystyle {\vec {p}}}$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c² mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c². Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c².

Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p^A et p^B de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p^A_μ + p^B_μ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|² = M²c². En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A^μ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

${\displaystyle p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(m^{2}c^{2})=0}$.

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste : ${\displaystyle P^{\mu }}$, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }\!}$,

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi /c\\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}$.

• Jean-Philippe Ansermet, Mécanique, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Traité de physique », octobre 2009, 1^re éd., XII-409 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-88074-829-6, EAN 9782880748296, OCLC 690490216, BNF 42119269, SUDOC 138501645, présentation en ligne, lire en ligne).
• (en) Moses Fayngold, Special relativity and how it works, Weinheim, Wiley-VCH, coll. « Physics textbook », juin 2008, 1^re éd., XVI-652 p., 17,4 × 24,1 cm (ISBN 978-3-527-40607-4, EAN 9783527406074, OCLC 472115473, S2CID 118208836, SUDOC 129833126, lire en ligne).
• Jules Fillette, Julien Froustey et Hugo Roussille, Physique pour l'agrégation : mécanique classique et relativiste, physique quantique et nucléaire, thermodynamique, physique statistique, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, coll. « LMD / physique », juin 2023, 1^re éd., VIII-501 p., 19 × 26,5 cm (ISBN 978-2-8073-3642-1, EAN 9782807336421, OCLC 1390586758, BNF 47297006, SUDOC 27077100X, présentation en ligne, lire en ligne).
• Jean Heyvaerts, Astrophysique : étoiles, Univers et relativité, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup », août 2012 (réimpr. mars 2021), 2^e éd., X-384 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-058269-3 et 978-2-10-082759-6, EAN 9782100582693, OCLC 816556703, BNF 42740481, SUDOC 163817030, présentation en ligne, lire en ligne).
• (en) Lane P. Hughston et Kenneth P. Tod, An introduction to general relativity, Cambridge, CUP, coll. « LMS student texts » (n^o 5), 1990, 1^re éd., VII-183 p., 15,2 × 22,8 cm (ISBN 0-521-32705-9 et 0-521-33943-X, EAN 9780521339438, OCLC 468047683, BNF 37364342, DOI 10.1017/CBO9781139171977, Bibcode 1990aitg.book.....H, S2CID 117434729, SUDOC 021879818, présentation en ligne, lire en ligne).
• Lev D. Landau et Evguéni M. Lifchitz (trad. du russe par Édouard Gloukhian), Physique théorique, t. II : Théorie des champ, Moscou, Mir, coll. « Physique théorique » (n^o 2), 1970, 3^e éd. (1^re éd. 1964), 494 p., 15 × 22 cm [détail des éditions] (OCLC 18709781, BNF 35376544, SUDOC 020911017, lire en ligne ).
• (en) Marc Lange, « The most famous equation », The Journal of Philosophy, vol. XCVIII, n^o 5,‎ mai 2001, p. 219-238 (OCLC 7093180433, DOI 10.2307/2678382, JSTOR 2678382, S2CID 171310995, lire en ligne ).
• (en) Kelvin J. McQueen, « Mass additivity and a priori entailment », Synthese, vol. 192,‎ mai 2025, p. 1373-1392 (OCLC 5825490823, DOI 10.1007/s11229-014-0627-7, arXiv 1501.07489, S2CID 26904551, résumé, lire en ligne ).
• (en) Lev B. Okun (trad. du russe par Julian B. Barbour), « The concept of mass (mass, energy, relativity) » , Soviet Physics Uspekhi, vol. 32, n^o 7,‎ juillet 1989, p. 629-638 (OCLC 4844068583, DOI 10.1070/PU1989v032n07ABEH002739, Bibcode 1989SvPhU..32..629O, S2CID 18297197, résumé, lire en ligne ).
• (en) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991, 2^e éd., poche (ISBN 978-0-19-853952-0, LCCN 90048748).
• (en) André Rougé, Introduction à la relativité, Palaiseau, École polytechnique, juillet 2002 (réimpr. mars 2008), 2^e éd. (1^re éd. mars 2001), 182 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7302-0940-3, EAN 9782730209403, OCLC 423892061, BNF 38954812, SUDOC 070449449, présentation en ligne, lire en ligne).
• (en) P. John Shepherd, A course in theoretical physics, Chichester, Wiley, hors coll., février 2013, 1^re éd., XVI-465 p., 19,6 × 25,4 cm (ISBN 978-1-118-48134-9 et 978-1-11-848142-4, EAN 9781118481349, OCLC 866915906, BNF 44654031, DOI 10.1002/9781118516911, S2CID 123791942, SUDOC 168266431, présentation en ligne, lire en ligne).
• (en) Bernard F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge, CUP, coll. « Higher education », juin 2022, 3^e éd. (1^re éd. janvier 1985), XV-497 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-1-108-49267-6, EAN 9781108492676, OCLC 1369143667, BNF 47084810, DOI 10.1017/9781108610865, Bibcode 2022fcgr.book.....S, S2CID 118825869, SUDOC 263369447, présentation en ligne, lire en ligne).
• (en) Nicola Vittorio, An overview of general relativity and space-time, Boca Raton, CRC, coll. « Series in astronomy and astrophysics », décembre 2022, 1^re éd., XV-255 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-367-69288-9 et 978-0-367-68304-7, EAN 9780367692889, OCLC 1348935207, DOI 10.1201/9781003141259, Bibcode 2023ogrs.book....1V, S2CID 253070499, SUDOC 270646957, présentation en ligne, lire en ligne ).

• (en) Olivier Darrigol, Relativity principles and theories from Galileo to Einstein, Oxford et New York, Oxford University Press, hors coll., mars 2022, 1^re éd., XII-472 p., 25 cm (ISBN 978-0-19-284953-3, EAN 9780192849533, OCLC 1258675513, SUDOC 256229503, présentation en ligne, lire en ligne).
• (en) Scott A. Walter, « Breaking in the four-vectors : the four-dimensional movement in gravitation », dans Jürgen Renn et Matthias Schemmel (éd.), The genesis of general relativity, t. III : Gravitation in the twilight of classical physics : between mechanics, field theory, and astronomy, Dordrecht, Springer, coll. « Boston studies in the philosophy of science » (n^o 250), février 2007, 1^re éd., 619 p., 25 cm (ISBN 978-1-4020-3999-7 et 978-94-017-8518-1, OCLC 496603813, BNF 40991060, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9, Bibcode 2007ggr..conf.....R, SUDOC 113837798, présentation en ligne, lire en ligne), p. 193-252 (OCLC 108382579, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9_18, résumé).

• Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
• Thierry Meyer, 51 leçons de l'agrégation externe de sciences physiques corrigées et commentées, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », janvier 2020, 1^re éd., 656 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-03667-3, EAN 9782340036673, OCLC 1141404288, BNF 46513072, SUDOC 24216935X, présentation en ligne, lire en ligne).
• José-Philippe Pérez (collab. Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., mai 2016 (réimpr. octobre 2017), 3^e éd. (1^re éd. septembre 1999), XXIII-439 p., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7 et 978-2-10-074717-7, EAN 9782100772957, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).
• Jean-Pierre Provost, Bernard Raffaelli et Gérard Vallée, Mathématiques en physique : concepts et outils, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », janvier 2019, 1^re éd., XIV-366 p., 17,5 × 25 cm (ISBN 978-2-10-079023-4, EAN 9782100790234, OCLC 1083672225, BNF 45652597, SUDOC 233556478, présentation en ligne, lire en ligne).
• Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), X-309 p., 17 × 24 m (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).

• Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010 (réimpr. mars 2011), 1^re éd., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
• Michel Le Bellac (préf. Thibault Damour), Les relativités : espace, temps, gravitation, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », avril 2015, 1^re éd., XIV-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-1294-3, EAN 9782759812943, OCLC 910332402, BNF 44362603, SUDOC 185764118, présentation en ligne, lire en ligne).
• Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes , Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », octobre 2021, 1^re éd., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609-610.

• Moment linéaire
• Quadrivecteur
• Quantité de mouvement
• Relativité restreinte
• E=mc2

• Portail de la physique