Relation de dispersion

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En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation ${\displaystyle \omega }$ et le vecteur d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}}$ d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie ${\displaystyle E}$ et sa quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$.

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice ${\displaystyle n}$ indépendant de la pulsation. La relation de dispersion s'écrit$${\displaystyle \omega ={\frac {c}{n}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert .}$$avec ${\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase est alors constante, ${\textstyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n}}}$, et est égale à la vitesse de groupe :$${\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {c}{n}}.}$$

Dans un milieu dispersif, l'indice optique ${\displaystyle n}$ dépend de la pulsation ${\displaystyle \omega }$. La relation de dispersion devient$${\displaystyle \omega ={\frac {c}{n(\omega )}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }$$avec ${\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation, soit :$${\displaystyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n(\omega )}}}$$La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :$${\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}(\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert V_{\varphi })=V_{\varphi }+\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}V_{\varphi }}$$

En notant : ${\displaystyle p=||{\vec {p}}||}$, la relation de dispersion s'écrit :

${\displaystyle E\ =\ {\frac {p^{2}}{2m}}}$

La relation d'Einstein^[1],[2],[3] est la relation de dispersion relativiste^[4],[5] obtenue à partir du carré la norme du quadrivecteur énergie-quantité de mouvement^[6].

Elle est donnée par :

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$,

d'où, pour une particule de masse ${\displaystyle m}$ non nulle :

${\displaystyle E\ =\ {\sqrt {p^{2}\,c^{2}\ +\ m^{2}\,c^{4}\ }}}$

${\displaystyle E\ =\ p\,c}$

• Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc et Gilbert Grynberg, Photons et atomes : introduction à l'électrodynamique quantique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », juillet 2001, 2^e éd. (1^re éd. janvier 1987), 1 vol., XVI-473 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 2-86883-535-X et 2-222-03966-5, EAN 9782868835352, OCLC 48459911, BNF 37714466, DOI 10.1051/978-2-7598-0135-0, SUDOC 007051026, présentation en ligne, lire en ligne).
• Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010 (réimpr. mars 2011), 1^re éd., 1 vol., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
• Dragi Karevski, Physique quantique des champs et des transitions de phase, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », 15 février 2022, 1^re éd., 1 vol., 684 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-06407-2, EAN 9782340064072, OCLC 1302196841, BNF 46970143, SUDOC 260823066, présentation en ligne, lire en ligne).
• Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), 1 vol., X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).
• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).
• Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes , Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », octobre 2021, 1^re éd., 1 vol., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

• Électrodynamique des milieux continus
• Théorie quantique des champs
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