4-polytope uniforme

Un 4-polytope uniforme est, en géométrie, un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes. Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.

Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques, il existe 64 4-polytopes uniformes convexes :

• 4-polytopes non-prismatiques :
  • 9 de groupe de Coxeter A₄ ;
  • 9 de groupe de Coxeter F₄ ;
  • 15 de groupe de Coxeter B₄ (dont 3 sont également compris dans la famille précédente) ;
  • 15 de groupe de Coxeter H₄ ;
  • 1 forme adoucie spéciale dans le groupe F₄ ;
  • 1 4-polytope spécial, le grand antiprisme ;
• Prismes polyédriques :
  • 5 prismes basés sur les solides de Platon (dont le tesseract, déjà compris dans la famille B₄) ;
  • 13 prismes basés sur les solides d'Archimède.

Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis :

• l'ensemble des hyperprismes antiprismatiques uniformes, prismes polyédriques de deux antiprismes ;
• l'ensemble des duoprismes uniformes.

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est A₄ sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
5-cellules	{3,3,3}		5	10	10	5
5-cellules rectifié	t1{3,3,3}		10	30	30	10
5-cellules tronqué	t0,1{3,3,3}		10	30	40	20
5-cellules biseauté	t0,2{3,3,3}		20	80	90	30
5-cellules augmenté	t0,3{3,3,3}		30	70	60	20
5-cellules bitronqué	t1,2{3,3,3}		10	40	60	30
5-cellules biseauté-tronqué	t0,1,2{3,3,3}		20	80	120	60
5-cellules augmenté-tronqué	t0,1,3{3,3,3}		30	120	150	60
5-cellules omnitronqué	t0,1,2,3{3,3,3}		30	150	240	120

Troncatures du pentachore	Pentachore	Pentachore tronqué	Pentachore rectifié	Pentachore biseauté	Pentachore bitronqué	Pentachore biseauté-tronqué	Pentachore augmenté	Pentachore augmenté-tronqué	Pentachore omnitronqué
Symbole de Schläfli	{3,3,3} 3r{3,3,3}	t{3,3,3} 3t{3,3,3}	r{3,3,3} 2r{3,3,3}	rr{3,3,3} r2r{3,3,3}	2t{3,3,3}	tr{3,3,3} t2r{3,3,3}	t0,3{3,3,3}	t0,1,3{3,3,3} t0,2,3{3,3,3}	t0,1,2,3{3,3,3}
Diagramme de Coxeter
Diagramme de Schlegel
Projection orthogonale par le plan de Coxeter A4
par le plan de Coxeter A3
par le plan de Coxeter A2

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est BC₄ sont au nombre de 15.

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
8-cellules	{4,3,3}		8	24	32	16
8-cellules rectifié	t1{4,3,3}		24	88	96	32
8-cellules tronqué	t0,1{4,3,3}		24	88	128	64
8-cellules biseauté	t0,2{4,3,3}		56	248	288	96
8-cellules augmenté (16-cellules augmenté)	t0,3{4,3,3}		80	208	192	64
8-cellules bitronqué (16-cellules bitronqué)	t1,2{4,3,3}		24	120	192	96
8-cellules biseauté-tronqué	t0,1,2{4,3,3}		56	248	384	192
8-cellules augmenté-tronqué	t0,1,3{4,3,3}		80	368	480	192
8-cellules omnitronqué (16-cellules omnitronqué)	t0,1,2,3{4,3,3}		80	464	768	384

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
16-cellules	{3,3,4}		16	32	24	8
16-cellules rectifié (24-cellules)	t1{3,3,4}		24	96	96	24
16-cellules tronqué	t0,1{3,3,4}		24	96	120	48
16-cellules biseauté (24-cellules rectifié)	t0,2{3,3,4}		48	240	288	96
16-cellules augmenté (8-cellules augmenté)	t0,3{3,3,4}		80	208	192	64
16-cellules bitronqué (8-cellules bitronqué)	t1,2{3,3,4}		24	120	192	96
16-cellules biseauté-tronqué (24-cellules tronqué)	t0,1,2{3,3,4}		48	240	384	192
16-cellules augmenté-tronqué	t0,1,3{3,3,4}		80	368	480	192
16-cellules omnitronqué (8-cellules omnitronqué)	t0,1,2,3{3,3,4}		80	464	768	384

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est F₄ sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
24-cellules (16-cellules rectifié)	{3,4,3}		24	96	96	24
24-cellules rectifié (16-cellules biseauté)	t1{3,4,3}		48	240	288	96
24-cellules tronqué (16-cellules biseauté-tronqué)	t0,1{3,4,3}		48	240	384	192
24-cellules biseauté	t0,2{3,4,3}		144	720	864	288
24-cellules augmenté	t0,3{3,4,3}		240	672	576	144
24-cellules bitronqué	t1,2{3,4,3}		48	336	576	288
24-cellules biseauté-tronqué	t0,1,2{3,4,3}		144	720	1 152	576
24-cellules augmenté-tronqué	t0,1,3{3,4,3}		240	1 104	1 440	576
24-cellules omnitronqué	t0,1,2,3{3,4,3}		240	1 392	2 304	1 152
24-cellules biseauté-tronqué alterné (24-cellules adouci)	h0,1,2{3,4,3}		144	480	432	96

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est H₄ sont au nombre de 15.

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
120-cellules	{5,3,3}		120	720	1 200	600
120-cellules rectifié	t1{5,3,3}		720	3 120	3 600	1 200
120-cellules tronqué	t0,1{5,3,3}		720	3 120	4 800	2 400
120-cellules biseauté	t0,2{5,3,3}		1 920	9 120	10 800	3 600
120-cellules augmenté (600-cellules augmenté)	t0,3{5,3,3}		2 640	7 440	7 200	2 400
120-cellules bitronqué (600-cellules bitronqué)	t1,2{5,3,3}		720	4 320	7 200	3 600
120-cellules biseauté-tronqué	t0,1,2{5,3,3}		1 920	9 120	14 400	7 200
120-cellules augmenté-tronqué	t0,1,3{5,3,3}		2 640	13 440	18 000	7 200
120-cellules omnitronqué (600-cellules omnitronqué)	t0,1,2,3{5,3,3}		2 640	17 040	28 800	14 400

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
600-cellules	{3,3,5}		600	1 200	720	120
600-cellules rectifié	t1{3,3,5}		720	3 600	3 600	720
600-cellules tronqué	t0,1{3,3,5}		720	3 600	4 320	1 440
600-cellules biseauté	t0,2{3,3,5}		1 440	8 640	10 800	3 600
600-cellules augmenté (120-cellules augmenté)	t0,3{3,3,5}		2 640	7 440	7 200	2 400
600-cellules bitronqué (120-cellules bitronqué)	t1,2{3,3,5}		720	4 320	7 200	3 600
600-cellules biseauté-tronqué	t0,1,2{3,3,5}		1 440	8 640	14 400	7 200
600-cellules augmenté-tronqué	t0,1,3{3,3,5}		2 640	13 440	18 000	7 200
600-cellules omnitronqué (120-cellules omnitronqué)	t0,1,2,3{3,3,5}		2 640	17 040	28 800	14 400

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract. Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
Demitesseract (16-cellules)	{3,3,5}		16	32	24	8
Demitesseract rectifié (16-cellules tronqué)	t1{3,3,5}		48	240	288	96
Demitesseract tronqué (8-cellules rectifié)	t0,1{3,3,5}		24	96	120	48
Demitesseract biseauté (8-cellules bitronqué)	t0,2{3,3,5}		24	88	96	32
Demitesseract biseauté-tronqué (24-cellules)	t0,1,2{3,3,5}		24	96	96	24
Demitesseract augmenté-biseauté (16-cellules biseauté)	t0,2,3{3,3,5}		24	120	192	96
Demitesseract omnitronqué (16-cellules biseauté-tronqué)	t0,1,2,3{3,3,5}		48	240	384	192
Demitesseract adouci (24-cellules adouci)	s{3,3,5}		144	480	432	96

Here again the snub 24-cell represents an alternated truncation of the truncated 24-cell, creating 96 new tetrahedra at the position of the deleted vertices. In contrast to its appearance within former groups as partly snubbed polychoron, only within this symmetry group it has the full analogy to the Kepler snubs, i.e. the snub cube and the snub dodecahedron.

Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres.

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• (en) Eric W. Weisstein, « Uniform polychoron », sur MathWorld
• (de) Uniform, convex polytopes in four dimensions (M. Möller, polytope.de)
• (en) Uniform Polytopes in Four Dimensions (G. Olshevsky)
• (en) Uniform polychora (J. Bowers)
• (en) Stella4D
• (en) Polychora (R. Klitzing)

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