4-polytope régulier convexe

Un polytope à 4 dimensions (ou polychore) régulier convexe est un objet géométrique, analogue en 4 dimensions des solides de Platon de la géométrie en 3 dimensions et des polygones réguliers de la géométrie en 2 dimensions.

Ces polytopes furent décrits la première fois en parallèle par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli et par la mathématicienne autodidacte irlandaise Alicia Boole Stott^[1], au milieu du XIX^e siècle. Schläfli et Boole Stott découvrirent, sans avoir conscience des travaux de l'autre, qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leurs côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle ; leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Le tableau suivant résume les caractéristiques principales des polychores réguliers :

• Symbole de Schläfli
• Nombre de sommets, d'arêtes, de faces et de cellules
• Figure de sommet
• Polychore dual
• Groupe de Coxeter et ordre du groupe

Le tableau suivant résume certaines propriétés géométriques des polychores réguliers :

• V : hypervolume
• S : hypersurface
• R : rayon de la 3-sphère circonscrite
• r : rayon de la 3-sphère inscrite (r)
• θ : angle dichoral

Dans les formules, φ est le nombre d'or et l'arête est de longueur unité.

Polychore	V	S	R	r	θ
Pentachore	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{96}}}$	${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{20}}}$	${\displaystyle \arccos {\frac {1}{4}}}$
Tesseract	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle 8\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
Hexadécachore	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$
Icositétrachore	${\displaystyle 2\,}$	${\displaystyle 8{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$
Hécatonicosachore	${\displaystyle {\frac {15(47\varphi +29)}{2}}}$	${\displaystyle 60(7\varphi +4)\,}$	${\displaystyle (\varphi +1){\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {3\varphi +2}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{5}}}$
Hexacosichore	${\displaystyle {\frac {25(2\varphi +1)}{4}}}$	${\displaystyle 50{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \varphi \,}$	${\displaystyle {\frac {(2\varphi +1){\sqrt {2}}}{2}}}$	${\displaystyle 2\arctan \left\{(2\varphi +1){\sqrt {3}}\right\}}$

Le tableau suivant recense quelques projections particulières des polychores.

Polychore	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Polygone de Petrie	Projection orthographique solide	Diagramme de Schlegel	Projection stéréographique
Pentachore	{3,3,3}			Tétraèdre
Tesseract	{4,3,3}			Cube
Hexadécachore	{3,3,4}			Cube
Icositétrachore	{3,4,3}			Cuboctaèdre
Hécatonicosachore	{5,3,3}			Triacontaèdre rhombique tronqué
Hexacosichore	{3,3,5}			Pentaki-icosidodécaèdre

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

• 5 sommets
• 10 arêtes
• 10 faces triangulaires
• 5 cellules tétraédriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie ${\displaystyle A_{4}}$. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

• 16 sommets
• 32 arêtes
• 24 faces carrées
• 8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie ${\displaystyle B_{4}}$. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

• 8 sommets
• 24 arêtes
• 32 faces triangulaires
• 16 cellules tétraédriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie ${\displaystyle B_{4}}$. Sa figure de sommet est un octaèdre.

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

• 24 sommets
• 96 arêtes
• 96 faces triangulaires
• 24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie ${\displaystyle F_{4}}$. Sa figure de sommet est un cube.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

• 600 sommets
• 1200 arêtes
• 720 faces pentagonales
• 120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est ${\displaystyle H_{4}}$. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

• 120 sommets
• 720 arêtes
• 1200 faces triangulaires
• 600 cellules tétraédriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est ${\displaystyle H_{4}}$. Sa figure de sommet est un icosaèdre.

• Nombre figuré 4-polytopique
• Nombre figuré 4-polytopique centré
• Polychores de Schläfli-Hess, les polychores réguliers non convexes

• Les polychores réguliers sur le site mathcurve
• Les dimensions sur le site dimensions-superieures
• (en) Eric W. Weisstein, « Regular Polychoron », sur MathWorld
• (en) Patrons des polychores réguliers
• Le film documentaire Dimensions donne des moyens de s'imaginer ces objets
• (en) Les polychores réguliers sur Eusebeia
• (en) Alicia Boole Stott’s four-dimension polytopes sur Alicia Boole Stott

• (en) H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry [détail des éditions]
• (en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3^e éd., Dover Publications, 1973 (ISBN 978-0-486-61480-9)
• (en) D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions, New York, E. P. Dutton, 1930 (Dover Publications, 1958), chap. X (« The Regular Polytopes »)

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