Loi z de Fisher

Loi z de Fisher
Densité de probabilité
Paramètres	${\displaystyle d_{1}>0,\,d_{2}>0}$, (degrés de liberté)
Support	${\displaystyle x\in ]-\infty ;+\infty [}$
Densité de probabilité	${\textstyle {\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {{\rm {e}}^{d_{1}z}}{\left(d_{1}{\rm {e}}^{2z}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!}$
Mode	0
Fonction caractéristique	${\textstyle \exp \!\left}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi z de Fisher est construite à partir de la loi de Fisher en prenant la moitié de son logarithme :

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\log X}$ où X suit une loi de Fisher.

Elle est initialement apparue dans un article^[1] de Ronald Fisher lors du congrès international des mathématiciens de 1924 à Toronto, et intitulé On a distribution yielding the error functions of several well-known statistics que l'on peut traduire par : Sur une loi modélisant les fonctions d'erreur de plusieurs statistiques bien connues.

La densité de probabilité et la fonction de répartition peuvent être obtenues grâce à celles de la loi de Fisher par l'application ${\displaystyle x\mapsto {\rm {e}}^{2x}}$. Cependant la moyenne et la variance ne sont pas les images de cette application. La densité est donnée par^[2],[3] :

${\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {{\rm {e}}^{d_{1}x}}{\left(d_{1}{\rm {e}}^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}},}$

où B est la fonction bêta.

• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ alors ${\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)\,}$ (loi de Fisher)
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$ alors ${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$
• Lorsque le nombre de degré de liberté est grand (${\displaystyle n_{1},n_{2}\rightarrow \infty }$), la loi approche la loi normale de moyenne^[2] ${\displaystyle {\bar {X}}=(1/d_{2}-1/d_{1})/2}$ et de variance ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=(1/d_{1}+1/d_{2})/2.}$

• (en) R.A. Fisher, « On a Distribution Yielding the Error Functions of Several Well Known Statistics », Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto, vol. 2,‎ 1924, p. 805-813 (lire en ligne)

• (en) Eric W. Weisstein, « Fishers' z Distribution », sur MathWorld

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