Nombre carré triangulaire

En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres^[1].

Ils s'écrivent sous la forme^[2]

${\displaystyle N_{k}={\frac {\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}}{32}}={\frac {\left(\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}\right)^{2}}{32}},\quad k\in \mathbb {N} ^{*}.}$

Par exemple, ${\displaystyle N_{2}=36=6^{2}={\frac {8\times 9}{2}}}$.

La suite ${\displaystyle (N_{k})}$ est répertoriée comme suite A001110 de l'OEIS, et si l'on pose ${\displaystyle N_{k}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}=s_{k}^{2}}$, les suites ${\displaystyle (t_{k})}$ et ${\displaystyle (s_{k})}$ sont respectivement répertoriées comme suite A001108 de l'OEIS et comme suite A001109 de l'OEIS.

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante^[2],[3],[4].

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s², c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1.}$

Les solutions sont données par

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})^{2k},}$

soit

${\displaystyle x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

On trouve donc

${\displaystyle t_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}-2}{4}}\quad {\rm {et}}\quad s_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{4{\sqrt {2}}}},}$

d'où la valeur annoncée pour N_k = s_k².

• Lorsque ${\displaystyle k}$ tend vers l'infini, le rapport

${\displaystyle {\frac {t_{k}}{s_{k}}}={\frac {x_{k}-1}{y_{k}}}\sim {\frac {x_{k}}{y_{k}}}}$

tend vers la racine carrée de deux et

${\displaystyle {N_{k+1} \over {N_{k}}}={s_{k+1}^{2} \over s_{k}^{2}}\to (1+{\sqrt {2}})^{4}.}$

• Les suites ${\displaystyle (t_{k}+1/2)}$ et ${\displaystyle (s_{k})}$ vérifient la relation de récurrence linéaire double : ${\displaystyle u_{k+2}=6u_{k+1}-u_{k}}$.

L'équation diophantienne s'écrit : (2) ${\displaystyle {\frac {p(p+1)}{2}}=q(q+1)}$.

En posant ${\displaystyle {\begin{cases}p=2s-t-1\\q=t-s\end{cases}}}$, on retombe sur l'équation (1) ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$.

Les solutions de (2) sont donc données par ${\displaystyle {\begin{cases}p_{k}=2s_{k}-t_{k}-1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2}{4}}\\q_{k}=t_{k}-s_{k}={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2{\sqrt {2}}}{4{\sqrt {2}}}}\end{cases}}}$.

La suite ${\displaystyle (p_{k})}$ débute par : 0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659 ; suite A001652 de l'OEIS.

La suite ${\displaystyle (q_{k})}$ débute par : 0, 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554 ; suite A053141 de l'OEIS.

L'équation (2) possède une jolie interprétation concrète : il s'agit de déterminer dans quels cas une formation triangulaire d'oiseaux migrateurs peut se séparer en deux formations triangulaires identiques^[3].

Il s'agit de l'équation (3) ${\displaystyle (n-1)^{2}+n^{2}=m^{2}}$. Comme ${\displaystyle m}$ est forcément impair, on peut poser ${\displaystyle m=2q+1}$ et l'équation (3) s'écrit alors ${\displaystyle n(n-1)=2q(q+1)}$, ce qui redonne l'équation (2) en posant ${\displaystyle n=p+1}$.

Les solutions de (3) sont donc données par ${\displaystyle {\begin{cases}n_{k}=p_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}+2}{4}}\\m_{k}=2q_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}}{2{\sqrt {2}}}}\end{cases}}}$.

La suite ${\displaystyle (m_{k})}$ débute par : 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109 ; suite A001653 de l'OEIS.

Remarquons que résoudre l'équation (3) revient à rechercher les triplets pythagoriciens dont les deux premiers termes sont consécutifs.

, renommé « Square triangular number » en août 2005.

• Arithmétique et théorie des nombres