Nombre étoilé

En mathématiques, un nombre étoilé est un nombre figuré polygonal centré comptant des points régulièrement répartis dans un hexagramme, à la façon dont sont réparties les cases du plateau des dames chinoises.

Le n-ième nombre étoilé ${\displaystyle E_{n}}$ est obtenu en répartissant les points dans l'hexagone central comme pour le n-ième nombre hexagonal centré (ayant ${\displaystyle n}$ points sur les côtés extérieurs) : ${\displaystyle C_{6,n}=1+6T_{n-1}}$, et les 6 triangles extérieurs comme pour le (n – 1)-ième nombre triangulaire ayant ${\displaystyle n-1}$ points sur ses côtés : ${\displaystyle T_{n-1}=n(n-1)/2}$. On a donc :

${\displaystyle E_{n}=1+12\,T_{n-1}=1+6\,n(n-1).}$

Ce nombre est égal au n-ième nombre dodécagonal centré :${\displaystyle E_{n}=C_{12,n}}$.

Les 25 premiers nombres étoilés sont 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1 093, 1 261, 1 441, 1 633, 1 837, 2 053, 2 281, 2 521, 2 773, 3 037, 3 313 et 3 601 (suite A003154 de l'OEIS). Cette suite d'entiers est de période 25 modulo 100 et de période 3 modulo 9.

Il existe une infinité d'indices ${\displaystyle n}$ pour lesquels le n-ième nombre étoilé est triangulaire (suite A003154 de l'OEIS) et une infinité pour lesquels il est carré (suite A054318 de l'OEIS). Dans les deux cas, ce sont les solutions d'une équation diophantienne. Les trois premiers nombres étoilés triangulaires sont E₁ = 1 = T₁, E₇ = 253 = T₂₂ et E₉₁ = 49 141 = T₃₁₃ et les trois premiers nombres étoilés carrés sont E₁ = 1², E₅ = 121 = 11² et E₄₅ = 11 881 = 109².

Les dix plus petits nombres étoilés premiers sont 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937 et 1 093 (suite A083577 de l'OEIS).

La notion peut être généralisée à des polygrammes quelconques^[1] . Le nombre étoilé associé à un polygramme d'ordre ${\displaystyle k}$ est défini comme le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$-gonal centré auquel on ajoute ${\displaystyle k}$ copies du (${\displaystyle n-1}$)-ième nombre triangulaire.

On a donc :

${\displaystyle E_{k,n}=C_{k,n}+kT_{n-1}=1+kT_{n-1}+kT_{n-1}=1+2kT_{n-1}=C_{2k,n}}$

Ce nombre est donc égal au ${\displaystyle n}$-ième nombre 2${\displaystyle k}$-gonal centré.

• Arithmétique et théorie des nombres